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IPM模型

在解釋自適應的IPM模型之前，首先需要了解使用相機的物理參數來描述IPM的基本模型[1]（這篇文章雖然有點古老，但是從數學層面上闡述了IPM的數學模型）下圖展示了相機坐標系，圖像坐標系，以及世界坐標系之間的關系，其中（u,v）是像素單位，(r,c)和（X,Y,Z）是米制單位。

使用IPM的目的是將像素點（u,v）映射到世界坐標系下的（X,Y,Z），首先定義一個單位向量X'來表示相機的視角的方向（這里用“‘ ”來表示這是一個矢量）那么與X'正交的就是單位向量Y"，該向量是與地面和相機的視角的方向都是正交的關系，IPM就是尋找到世界坐標系下的（X',Y',Z'）與圖像坐標系（u',v'）之間的關系，以便將圖像的像素映射到世界坐標系下。這里一定要注意根據單位的不同的，圖像上的兩種坐標系設置為（u',v'）和（r',c'）.像素空間中的圖像點（u',v'）與米制單位空間中的（r',c'）是相同點。他們之間的關系定義如下：

這里說明一下K是像素與米單位之間的關系（Px/m）,其實就是每米占多少個pixel.圖像的寬度m,以及圖像的高度n。相機的光學中心P在世界坐標系中的位置為（0,0，h）。光學中心的軸用O'表示，是與像平面是正交的（這里可以想象一下，肯定是正交的關系）。

我們近一步的通過下面的側視圖和俯視圖的描述參數中，假設物體的高度為0，那么很容易的計算出世界坐標系中的投影圖像，使用側視圖理解，X'方向上的點X可以寫成像素點v,相機的傾斜角（theta0）和垂直角（theta）的函數。

傾斜角表示平行于地面的直線與光軸之間的角度（O'）垂直角是從P到每個像素的線與O'之間的角度，利用上圖中的幾何學關系，我們可以推導出傾斜角和垂直角，這兩個已知量是可以作為函數的參數，尋找兩者之間的關系是我們發現從垂直的焦距fr開始，從中我們可以得到theta(V)。

通過幾何學之間的關系我們可以得到如下的關系式：

其中r_top是是指在（r',c’）坐標系下最高的圖像點，

alpha_r是垂直方向上FOＶ的一半，

r_top在我們假設像素的坐標系中的ｖ＝１的時候是可以被推導出來的

并且fr 是可以根據上兩個式子推導出來的

則θ(v) 可以表示為

最終我們根據上式子表示出 X(v)

請注意，世界坐標系中的X與圖像平面的u無關。下一步，我們用俯視圖求出Y，如圖3所示：

這個關系可以用X和Y之間的比例表達式來推導：

其中fc是水平焦距，可從：

與側視圖幾何圖形類似，C_right是（r'，c'）坐標中最右側點的C值，a_c是水平視野的半角。當u值為n時，可獲得C_right

因此，fc和Y（u，v）可以定義為（12）、（13）。如果圖像的寬度和高度相同（m=n），則fc與fr相同

Y（u，v）在世界坐標中的位置取決于（u，v），因為Y（u，v）包括X（v）。但該模型僅考慮從固定攝像機獲取圖像的情況。當從運動車輛獲取圖像時，由于車輛的運動，尤其是其俯仰方向，很難將圖像轉換為準確的鳥瞰圖像。為了解決該問題，在該模型中還添加了相機俯仰方向（theta_p）上的角度，如下圖所示。

? ? ? ? ? ? ?自適應IPM模型的側視圖,相機的俯仰角（ep）添加到基本IPM模型中

最后，通過將theta_p添加到原始theta_o，可以導出自適應IPM建模方程（14）

X（v，theat_p）取決于相機的俯仰角（theta_p），Y（u，v,theta_p）也取決于它，這意味著鳥瞰圖像根據俯仰角進行適當補償。

[1]?Hanspeter A Mallot, Heinrich H Bulthoff, JJ Little, and ¨Stefan Bohrer. Inverse perspective mapping simplifies optical flow computation and obstacle detection. Biological cybernetics, 64(3):177–185, 1991.

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總結

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