（一）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),

為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) 與 的二項(xiàng)式系數(shù) , 最大; 為偶數(shù)時(shí)，展開式中間一項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù) 最大.

（二）求展開式系數(shù)的最大項(xiàng)

求展開式系數(shù)最大的項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是不同的,還需考慮各項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)變化情況.事實(shí)上,由于展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是離散型變量,因此,我們可以考慮類比求數(shù)列最大項(xiàng)的方法,即比較第

項(xiàng)與相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小,根據(jù)通項(xiàng)構(gòu)造不等式組求解(為什么?)

現(xiàn)在我們著眼于

的二項(xiàng)展開式,

易知其通項(xiàng)為

,令,設(shè) 最大,則

因?yàn)?

所以不等式組一定有解,并且當(dāng) 為整數(shù)時(shí), 有兩個(gè)解;否則 只有一個(gè)解,因此得到結(jié)論:

形如

的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)最多只有兩項(xiàng),當(dāng) 且 時(shí), 為二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

但是對(duì)于

,上面的方法貌似不成立了......

事實(shí)上，對(duì)于

時(shí)的問題，簡便的方法是:先求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng),再根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)確定系數(shù)最大的項(xiàng).于是問題就又轉(zhuǎn)化為求系數(shù)最大的項(xiàng)的情況:

如果

為整數(shù)，那么介于 之間的偶數(shù)就是我們要求的 ;

如果

不為整數(shù)，那么介于 之間的偶數(shù)就是我們要求的 ,

如果介于它們之間的是奇數(shù)，那么只需要比較

項(xiàng)左右兩項(xiàng)的系數(shù)就可以了.(為什么???)

時(shí)同理.

（三）方法的合理性（高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)）

那么...

”為什么這個(gè)方法就能讓我們找到系數(shù)最大的項(xiàng)了呢?“

”我們這樣求得的不應(yīng)該是局部最大的嗎?“

這就需要我們來了解一個(gè)特殊函數(shù):

伽馬函數(shù)(Gamma Fuction):

,它將階乘從自然數(shù)集 推廣至實(shí)數(shù)集 上.

推薦閱讀:

LDA-math-神奇的Gamma函數(shù) | 統(tǒng)計(jì)之都?cosx.org

介紹了伽馬函數(shù)以及與其相關(guān)的 Digamma 函數(shù)(伽瑪函數(shù)的對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可看作 Gamma 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)除以 Gamma 函數(shù))

所以組合數(shù)可表示為,

我們可以將

看作自變量為 的一個(gè)函數(shù) :

求導(dǎo)數(shù),利用 Mathematica (Ver 12.1.0)

(當(dāng)然不用手算啦!)

Manipulate[Plot[{(b^(k + 1) Gamma[n + 1] a^(-k + n + 1))/(Gamma[k + 1] Gamma[-k + n + 1]), -((b^(k + 1) Gamma[n + 1] a^(-k + n + 1) (Log[a] - Log[b] - PolyGamma[0, -k + n + 1] + PolyGamma[0, k + 1]))/(Gamma[k + 1] Gamma[-k + n + 1]))}, {k, 0, n}, PlotRange -> All, PlotLegends -> {"C(k)", "C'(k)"}], {n, 1, 10, 1}, {a, 1, 15}, {b, 1,15}]

上述Mathematica代碼實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)可視化:

最近綠了MATLAB去用Mathematica了 www...

圖例

對(duì)圖像的影響:

a=1,b=1,n=1

a=1,b=1,n=3

a=1,b=1,n=5

a=1,b=1,n=10

對(duì)圖像的影響:

a=1,b=1,n=5

a=2,b=1,n=5

a=3,b=1,n=5

a=4,b=1,n=5

a=5,b=1,n=5

a=10,b=1,n=5

對(duì)圖像的影響與 對(duì)圖像的影響相似，只不過圖像的最高點(diǎn)向右偏移.

函數(shù)

的最高點(diǎn)有且僅有一個(gè),而函數(shù) 的最高點(diǎn)可能有兩個(gè).故我們可以通過解不等式的方法來求系數(shù)最大的項(xiàng).

關(guān)于這個(gè)方法在二項(xiàng)分布中的應(yīng)用,請(qǐng)移步

Bang：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取何值時(shí)概率最大?zhuanlan.zhihu.com

總結(jié)

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