最大似然估計(jì)（Maximum likelihood estimation, 簡(jiǎn)稱(chēng)MLE）和最大后驗(yàn)概率估計(jì)（Maximum a posteriori estimation, 簡(jiǎn)稱(chēng)MAP）是很常用的兩種參數(shù)估計(jì)方法，如果不理解這兩種方法的思路，很容易弄混它們。下文將詳細(xì)說(shuō)明MLE和MAP的思路與區(qū)別。

但別急，我們先從概率和統(tǒng)計(jì)的區(qū)別講起。

概率和統(tǒng)計(jì)是一個(gè)東西嗎？

概率（probabilty）和統(tǒng)計(jì)（statistics）看似兩個(gè)相近的概念，其實(shí)研究的問(wèn)題剛好相反。

概率研究的問(wèn)題是，已知一個(gè)模型和參數(shù)，怎么去預(yù)測(cè)這個(gè)模型產(chǎn)生的結(jié)果的特性（例如均值，方差，協(xié)方差等等）。 舉個(gè)例子，我想研究怎么養(yǎng)豬（模型是豬），我選好了想養(yǎng)的品種、喂養(yǎng)方式、豬棚的設(shè)計(jì)等等（選擇參數(shù)），我想知道我養(yǎng)出來(lái)的豬大概能有多肥，肉質(zhì)怎么樣（預(yù)測(cè)結(jié)果）。

統(tǒng)計(jì)研究的問(wèn)題則相反。統(tǒng)計(jì)是，有一堆數(shù)據(jù)，要利用這堆數(shù)據(jù)去預(yù)測(cè)模型和參數(shù)。仍以豬為例。現(xiàn)在我買(mǎi)到了一堆肉，通過(guò)觀(guān)察和判斷，我確定這是豬肉（這就確定了模型。在實(shí)際研究中，也是通過(guò)觀(guān)察數(shù)據(jù)推測(cè)模型是／像高斯分布的、指數(shù)分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以進(jìn)一步研究，判定這豬的品種、這是圈養(yǎng)豬還是跑山豬還是網(wǎng)易豬，等等（推測(cè)模型參數(shù)）。

一句話(huà)總結(jié)：概率是已知模型和參數(shù)，推數(shù)據(jù)。統(tǒng)計(jì)是已知數(shù)據(jù)，推模型和參數(shù)。

顯然，本文解釋的MLE和MAP都是統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的問(wèn)題。它們都是用來(lái)推測(cè)參數(shù)的方法。為什么會(huì)存在著兩種不同方法呢？ 這需要理解貝葉斯思想。我們來(lái)看看貝葉斯公式。

貝葉斯公式到底在說(shuō)什么？

學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)和模式識(shí)別的人一定都聽(tīng)過(guò)貝葉斯公式(Bayes’ Theorem)：

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)?【式1】

貝葉斯公式看起來(lái)很簡(jiǎn)單，無(wú)非是倒了倒條件概率和聯(lián)合概率的公式。

把B展開(kāi)，可以寫(xiě)成：

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|～A)P(～A)?【式2】（～A表示”非A”）

這個(gè)式子就很有意思了。

想想這個(gè)情況。一輛汽車(chē)（或者電瓶車(chē)）的警報(bào)響了，你通常是什么反應(yīng)？有小偷？撞車(chē)了？ 不。。 你通常什么反應(yīng)都沒(méi)有。因?yàn)槠?chē)警報(bào)響一響實(shí)在是太正常了！每天都要發(fā)生好多次。本來(lái)，汽車(chē)警報(bào)設(shè)置的功能是，出現(xiàn)了異常情況，需要人關(guān)注。然而，由于虛警實(shí)在是太多，人們漸漸不相信警報(bào)的功能了。

貝葉斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件證據(jù)？（how much you can trust the evidence）

我們假設(shè)響警報(bào)的目的就是想說(shuō)汽車(chē)被砸了。把A計(jì)作“汽車(chē)被砸了”，B計(jì)作“警報(bào)響了”，帶進(jìn)貝葉斯公式里看。我們想求等式左邊發(fā)生A|B的概率，這是在說(shuō)警報(bào)響了，汽車(chē)也確實(shí)被砸了。汽車(chē)被砸引起（trigger）警報(bào)響，即B|A。但是，也有可能是汽車(chē)被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（統(tǒng)統(tǒng)計(jì)作～A），其他原因引起汽車(chē)警報(bào)響了，即B|～A。那么，現(xiàn)在突然聽(tīng)見(jiàn)警報(bào)響了，這時(shí)汽車(chē)已經(jīng)被砸了的概率是多少呢（這即是說(shuō)，警報(bào)響這個(gè)證據(jù)有了，多大把握能相信它確實(shí)是在報(bào)警說(shuō)汽車(chē)被砸了）？想一想，應(yīng)當(dāng)這樣來(lái)計(jì)算。用警報(bào)響起、汽車(chē)也被砸了這事件的數(shù)量，除以響警報(bào)事件的數(shù)量（這即【式1】）。進(jìn)一步展開(kāi)，即警報(bào)響起、汽車(chē)也被砸了的事件的數(shù)量，除以警報(bào)響起、汽車(chē)被砸了的事件數(shù)量加上警報(bào)響起、汽車(chē)沒(méi)被砸的事件數(shù)量（這即【式2】）。

可能有點(diǎn)繞，請(qǐng)稍稍想一想。

再思考【式2】。想讓P(A|B)=1，即警報(bào)響了，汽車(chē)一定被砸了，該怎么做呢？讓P(B|～A)P(～A)=0即可。很容易想清楚，假若讓P(～A)=0，即杜絕了汽車(chē)被球踢、被行人碰到等等其他所有情況，那自然，警報(bào)響了，只剩下一種可能——汽車(chē)被砸了。這即是提高了響警報(bào)這個(gè)證據(jù)的說(shuō)服力。

從這個(gè)角度總結(jié)貝葉斯公式：做判斷的時(shí)候，要考慮所有的因素。?老板罵你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出門(mén)前和太太吵了一架。

再思考【式2】。觀(guān)察【式2】右邊的分子，P(B|A)為汽車(chē)被砸后響警報(bào)的概率。姑且仍為這是1吧。但是，若P(A)很小，即汽車(chē)被砸的概率本身就很小，則P(B|A)P(A)仍然很小，即【式2】右邊分子仍然很小，P(A|B)?還是大不起來(lái)。 這里，?P(A)即是常說(shuō)的先驗(yàn)概率，如果A的先驗(yàn)概率很小，就算P(B|A)較大，可能A的后驗(yàn)概率P(A|B)還是不會(huì)大（假設(shè)P(B|～A)P(～A)不變的情況下）。

從這個(gè)角度思考貝葉斯公式：一個(gè)本來(lái)就難以發(fā)生的事情，就算出現(xiàn)某個(gè)證據(jù)和他強(qiáng)烈相關(guān)，也要謹(jǐn)慎。證據(jù)很可能來(lái)自別的雖然不是很相關(guān)，但發(fā)生概率較高的事情。?發(fā)現(xiàn)剛才寫(xiě)的代碼編譯報(bào)錯(cuò)，可是我今天狀態(tài)特別好，這語(yǔ)言我也很熟悉，犯錯(cuò)的概率很低。因此覺(jué)得是編譯器出錯(cuò)了。 ————?jiǎng)e，還是先再檢查下自己的代碼吧。

好了好了，說(shuō)了這么多，下面言歸正傳，說(shuō)一說(shuō)MLE。

——————不行，還得先說(shuō)似然函數(shù)（likelihood function）

似然函數(shù)

似然（likelihood）這個(gè)詞其實(shí)和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典這么解釋：The?likelihood?of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood換成probability，這解釋也讀得通。但是在統(tǒng)計(jì)里面，似然函數(shù)和概率函數(shù)卻是兩個(gè)不同的概念（其實(shí)也很相近就是了）。

對(duì)于這個(gè)函數(shù)：

P(x|θ)

輸入有兩個(gè)：x表示某一個(gè)具體的數(shù)據(jù)；θ表示模型的參數(shù)。

如果θ是已知確定的，x是變量，這個(gè)函數(shù)叫做概率函數(shù)(probability function)，它描述對(duì)于不同的樣本點(diǎn)x，其出現(xiàn)概率是多少。

如果x是已知確定的，θ是變量，這個(gè)函數(shù)叫做似然函數(shù)(likelihood function), 它描述對(duì)于不同的模型參數(shù)，出現(xiàn)x這個(gè)樣本點(diǎn)的概率是多少。

這有點(diǎn)像“一菜兩吃”的意思。其實(shí)這樣的形式我們以前也不是沒(méi)遇到過(guò)。例如，f(x,y)=xy, 即x的y次方。如果x是已知確定的(例如x=2)，這就是f(y)=2y, 這是指數(shù)函數(shù)。 如果y是已知確定的(例如y=2)，這就是f(x)=x2，這是二次函數(shù)。同一個(gè)數(shù)學(xué)形式，從不同的變量角度觀(guān)察，可以有不同的名字。

這么說(shuō)應(yīng)該清楚了吧？ 如果還沒(méi)講清楚，別急，下文會(huì)有具體例子。

現(xiàn)在真要先講講MLE了。。

最大似然估計(jì)（MLE）

假設(shè)有一個(gè)造幣廠(chǎng)生產(chǎn)某種硬幣，現(xiàn)在我們拿到了一枚這種硬幣，想試試這硬幣是不是均勻的。即想知道拋這枚硬幣，正反面出現(xiàn)的概率（記為θ）各是多少？

這是一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，回想一下，解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題需要什么？ 數(shù)據(jù)！

于是我們拿這枚硬幣拋了10次，得到的數(shù)據(jù)（x0）是：反正正正正反正正正反。我們想求的正面概率θ是模型參數(shù)，而拋硬幣模型我們可以假設(shè)是?二項(xiàng)分布。

那么，出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果x0（即反正正正正反正正正反）的似然函數(shù)是多少呢？?

f(x0,θ)=(1?θ)×θ×θ×θ×θ×(1?θ)×θ×θ×θ×(1?θ)=θ7(1?θ)3=f(θ)

注意，這是個(gè)只關(guān)于θ的函數(shù)。而最大似然估計(jì)，顧名思義，就是要最大化這個(gè)函數(shù)。我們可以畫(huà)出f(θ)的圖像：

可以看出，在θ=0.7時(shí)，似然函數(shù)取得最大值。

這樣，我們已經(jīng)完成了對(duì)θ的最大似然估計(jì)。即，拋10次硬幣，發(fā)現(xiàn)7次硬幣正面向上，最大似然估計(jì)認(rèn)為正面向上的概率是0.7。（ummm..這非常直觀(guān)合理，對(duì)吧？）

且慢，一些人可能會(huì)說(shuō)，硬幣一般都是均勻的啊！ 就算你做實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)果是“反正正正正反正正正反”，我也不信θ=0.7。

這里就包含了貝葉斯學(xué)派的思想了——要考慮先驗(yàn)概率。 為此，引入了最大后驗(yàn)概率估計(jì)。

最大后驗(yàn)概率估計(jì)

最大似然估計(jì)是求參數(shù)θ, 使似然函數(shù)P(x0|θ)最大。最大后驗(yàn)概率估計(jì)則是想求θ使P(x0|θ)P(θ)最大。求得的θ不單單讓似然函數(shù)大，θ自己出現(xiàn)的先驗(yàn)概率也得大。 （這有點(diǎn)像正則化里加懲罰項(xiàng)的思想，不過(guò)正則化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）

MAP其實(shí)是在最大化P(θ|x0)=P(x0|θ)P(θ)P(x0)，不過(guò)因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="MathJax" style="line-height:normal;text-align:left;word-spacing:normal;white-space:nowrap;float:none;min-width:0px;min-height:0px;border:0px;padding:0px;margin:0px;">x0是確定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），P(x0)是一個(gè)已知值，所以去掉了分母P(x0)（假設(shè)“投10次硬幣”是一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)做了1000次，“反正正正正反正正正反”出現(xiàn)了n次，則P(x0)=n/1000。總之，這是一個(gè)可以由數(shù)據(jù)集得到的值）。最大化P(θ|x0)的意義也很明確，x0已經(jīng)出現(xiàn)了，要求θ取什么值使P(θ|x0)最大。順帶一提，P(θ|x0)即后驗(yàn)概率，這就是“最大后驗(yàn)概率估計(jì)”名字的由來(lái)。

對(duì)于投硬幣的例子來(lái)看，我們認(rèn)為（”先驗(yàn)地知道“）θ取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我們用一個(gè)高斯分布來(lái)具體描述我們掌握的這個(gè)先驗(yàn)知識(shí)，例如假設(shè)P(θ)為均值0.5，方差0.1的高斯函數(shù)，如下圖：

則P(x0|θ)P(θ)的函數(shù)圖像為：

注意，此時(shí)函數(shù)取最大值時(shí)，θ取值已向左偏移，不再是0.7。實(shí)際上，在θ=0.558時(shí)函數(shù)取得了最大值。即，用最大后驗(yàn)概率估計(jì)，得到θ=0.558

最后，那要怎樣才能說(shuō)服一個(gè)貝葉斯派相信θ=0.7呢？你得多做點(diǎn)實(shí)驗(yàn)。。

如果做了1000次實(shí)驗(yàn)，其中700次都是正面向上，這時(shí)似然函數(shù)為:

如果仍然假設(shè)P(θ)為均值0.5，方差0.1的高斯函數(shù)，P(x0|θ)P(θ)的函數(shù)圖像為：

在θ=0.696處，P(x0|θ)P(θ)取得最大值。

這樣，就算一個(gè)考慮了先驗(yàn)概率的貝葉斯派，也不得不承認(rèn)得把θ估計(jì)在0.7附近了。

PS. 要是遇上了頑固的貝葉斯派，認(rèn)為P(θ=0.5)=1?，那就沒(méi)得玩了。。 無(wú)論怎么做實(shí)驗(yàn)，使用MAP估計(jì)出來(lái)都是θ=0.5。這也說(shuō)明，一個(gè)合理的先驗(yàn)概率假設(shè)是很重要的。（通常，先驗(yàn)概率能從數(shù)據(jù)中直接分析得到）

最大似然估計(jì)和最大后驗(yàn)概率估計(jì)的區(qū)別

相信讀完上文，MLE和MAP的區(qū)別應(yīng)該是很清楚的了。MAP就是多個(gè)作為因子的先驗(yàn)概率P(θ)。或者，也可以反過(guò)來(lái)，認(rèn)為MLE是把先驗(yàn)概率P(θ)認(rèn)為等于1，即認(rèn)為θ是均勻分布。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最大似然估计【MLE】与最大后验概率【MAP】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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