引言

在康托爾集合中，元素屬于集合和不屬于集合是確定的。但在有些情況下，集合的定義不能一刀切。例如，年輕人和老年人，每個人對年輕年老的定義不同，有的人認為30歲以內(nèi)算年輕，有的人認為18歲才是花樣少年。因此，扎德先生于1965年提出模糊集理論。

模糊集

模糊集$A$中的任意一個元素$u\in U$，都有唯一對應的實數(shù)${\mu }_A(u)\in [0,1]$，表示元素$u$隸屬于集合$A$的程度。即我們可以定義如下的映射
$${\mu }_A:U\to [0,1],u\to {\mu }_A(u)$$ ${\mu }_A$稱為模糊集合$A$的隸屬函數(shù)。
一個問題中隸屬函數(shù)的定義是模糊集的根本。
全集$U$的模糊密集記為$\mathcal{F}(U)$。

對應于康托爾集合，若元素$u\in A$，則${\mu }_A(u)=1$，反之${\mu }_A(u)=0$，因此康托爾集是模糊集的特殊形式。

舉例

扎德先生根據(jù)人的年齡，定義了年輕（$Y$）和年老（$O$）兩個模糊集，全集$U=[0,100]$。

年輕集的隸屬函數(shù)${\mu }_Y(u)$定義如下
$${\mu }_Y(u)=?\begin{array}{rlrl}& 1,& & u\in [0,25],\\ & \frac{1}{1+{\left(\frac{u?25}{5}\right)}^2},& & u\in (25,100]\end{array}$$

年老集的隸屬度函數(shù)${\mu }_O(u)$定義如下
$${\mu }_O(u)=?\begin{array}{rlrl}& 0,& & u\in [0,50],\\ & \frac{1}{1+{\left(\frac{u?50}{5}\right)}^{?2}},& & u\in (50,100]\end{array}$$

模糊集運算法則

冪等律
$A\cup A=A;A\cap A=A$

交換律
$A\cup B=B\cup A;A\cap B=B\cap A$

結(jié)合律
$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$; $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

吸收律
$(A\cap B)\cup A=A$; $(A\cup B)\cap A=A$

分配律
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$;

兩極律
$A\cup U=U$; $A\cap U=A$;
$A\cup ?=A$; $A\cap ?=?$

自反律
$(A^c{)}^c=A$

摩根定律
$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$; $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

參考文獻

Li, Hong-xing. Fuzzy Systems To Quantum Mechanics. Vol. 87. World Scientific, 2020.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的模糊集合及运算1.4的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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