證明：設{}是中的柯西點列，其中={}

由柯西列的定義：對，正整數(shù)N，當n，m>N時，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此，對每一個固定的j，當n,m > N時，成立

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這就是說，數(shù)列是柯西點列（注意此處是指是R中的Cauchy列），因此，

由R的完備性：? ??數(shù)，使得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令，下面證明，且

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??(注：若對，正整數(shù)N，當n，m>N時，?)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??在（2）式中，令，可以得到：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 對一切m > N，成立 ?（因為有了極限才可以取極限）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又??，因此實數(shù)，使得對于所有j，成立

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這就證明了(有界)，由（3）式，可知對一切的m > N，成立：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? 因此是完備度量空間，證畢。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的泛函分析基础-如何证明l^∞是完备的度量空间的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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