前言

收集整理

有關正切值的給出方式

案例已知(tan heta=2)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

詳解：(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta})(=cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1}=cfrac{2 imes 2-1}{2 imes2^2+1}=cfrac{1}{3})

【解后反思】1、分子分母都是關于(sin heta)和(cos heta)的二次齊次式時，給分子分母同除以(cos^2 heta)，轉化為關于(tan heta)的一元函數問題來求解，代值運算即可。2、 限定條件以簡單變形形式給出。

在具體題目中，估計你的計算需要的正切值的給出方式，可以以任意一個數學素材的角度給出，比如以下的一些常見的給出方式：

已知(cfrac{sin heta-cos heta}{sin heta+cos heta}=2)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知( heta)角的終邊過點((4a，-3a)(a>0))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知( heta)角的終邊在直線(3x+4y=0)上，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知如圖，( an heta=AT)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知(sin heta=2cos heta)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知( an2 heta=-cfrac{4}{3})，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

若傾斜角為( heta)的直線(l)與曲線(y=x^4)相切于點((1，1))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知(sin(cfrac{pi}{6}- heta)=cos(cfrac{pi}{6}+ heta))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知(sin(pi- heta)=2sin(cfrac{pi}{2}+ heta))，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知直線(2x-y-1=0)的傾斜角為( heta)，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知點(( heta，0))為函數(f(x)=sinx+2cosx)圖像的一個對稱中心，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知直線(l_1:xcos heta+2y=0)與直線(l_2:3x+ysin heta+3=0)垂直，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

已知直線(l_1:xcos heta+2y=0)與直線(l_2:xsin heta+3y+3=0)平行，求(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta})的值。

以雙曲線的漸近線的夾角形式給出^[1]

利用過兩點的坐標，

利用導函數(k=f'(x_0))給出，

如若傾斜角為(alpha)的直線(l)與曲線(y=x^4)相切于點((1，1))，則(k=tanalpha=y'|_{x=1}=4x^3|_{x=1}=4)。

利用函數的切線的方向向量的坐標。

如函數(f(x)=x^3+ax^2+5)在點(x=1)處的切線的方向向量為((-2,-6))，則可知(f'(x)|_{x=1}=cfrac{-6}{-2}=3)，

說明：直線的斜截式為(y=kx+b)，則其方向向量(overrightarrow{s}=(1，k))，或(overrightarrow{s}=(1，-cfrac{A}{B}))，

典例剖析

例1若直線(l_1:xcos heta+2y=0)與直線(l_2:3x+ysin heta+3=0)垂直，求值(sin2 heta)=____________.

法1：直線(l_1:xcos heta+2y=0)的斜率(k_1=-cfrac{cos heta}{2})，

直線(l_2:3x+ysin heta+3=0)的斜率(k_2=-cfrac{3}{sin heta})，

由兩條直線相互垂直可知，(k_1 imes k_2=-1)，即((-cfrac{cos heta}{2})(-cfrac{3}{sin heta})=-1)

則可以得到，( an heta=-cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

則可得(sin2 heta=cfrac{2 imes (-frac{3}{2})}{(-frac{3}{2})^2+1}=-cfrac{12}{13}).

法2：直線(l_1:xcos heta+2y=0)的方向向量為(vec{u}=(-cos heta，2))，

直線(l_2:3x+ysin heta+3=0)的方向向量為(vec{v}=(-3，sin heta))，

由兩條直線相互垂直可知，(vec{u}cdot vec{v}=0)，即((-cos heta) imes (-3)+2 imessin heta=0)

則可以得到，(2sin heta+3cos heta=0)，即( an heta=-cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

則可得(sin2 heta=cfrac{2 imes (-frac{3}{2})}{(-frac{3}{2})^2+1}=-cfrac{12}{13}).

例2[上例變式]若直線(l_1:xcos heta+2y=0)與直線(l_2:xsin heta+3y+3=0)平行，求值(sin2 heta)=____________.

法1：直線(l_1:xcos heta+2y=0)的斜率為(k_1=-cfrac{cos heta}{2})，

直線(l_2:xsin heta+3y+3=0)的斜率(k_2=-cfrac{sin heta}{3})，

由兩條直線相互平行可知，(k_1=k_2)，即(-cfrac{cos heta}{2}=-cfrac{sin heta}{3})

則可以知道，( an heta=cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

則可得(sin2 heta=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{3}{2})^2+1}=cfrac{12}{13}).

法2：直線(l_1:xcos heta+2y=0)的方向向量為(vec{u}=(-cos heta，2))，

直線(l_2:xsin heta+3y+3=0)的方向向量為(vec{v}=(-sin heta，3))，

由兩條直線相互平行可知，(vec{u}//vec{v})，即(-3cos heta-2(-sin heta)=0)

則可以得到，即( an heta=cfrac{3}{2})，

而(sin2 heta=cfrac{2sin hetacos heta}{sin^2 heta+cos^2 heta}=cfrac{2 an heta}{ an^2 heta+1})，

則可得(sin2 heta=cfrac{2 imes frac{3}{2}}{(frac{3}{2})^2+1}=cfrac{12}{13}).

對應練習

練1【2016年寶雞市質檢Ⅱ理科數學第6題】已知向量(vec{a}=(cosalpha,-2))，向量(vec{b}=(sinalpha,1))，且(vec{a})//(vec{b})，則(2sinalphacosalpha)等于【】

$A.3$ $B.-3$ $C.-cfrac{4}{5}$ $D.cfrac{4}{5}$

分析：由(vec{a})//(vec{b})，則可知(cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{1}{-2})，即( analpha=-cfrac{1}{2})，其余仿上完成，選(C)。

---

例(2018寶雞市二檢)雙曲線(cfrac{y^2}{4}-x^2=1)的漸近線所夾的角中的銳角為(alpha)，求(cos2alpha)的值。
分析：由題目可以知道，其漸近線為(y=pm 2x)，
取其一(y=2x)，則其傾斜角為( heta)，可知(tan heta=2)，
求(tanalpha)的思路之一：
又知道( heta+cfrac{alpha}{2}=cfrac{pi}{2})，則( heta=cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2})，帶入上式得到，
(tan heta=tan(cfrac{pi}{2}-cfrac{alpha}{2})=cotcfrac{alpha}{2}=2)，即(cotcfrac{alpha}{2}=2)，
則(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2})，由(tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到，(tanalpha=cfrac{4}{3})。
求(tanalpha)的思路之二：
用三角函數的定義，在(y=2x)上取點((1，2))，(tancfrac{alpha}{2}=cfrac{1}{2})，
由(tanalpha=cfrac{2tancfrac{alpha}{2}}{1-tan^2cfrac{alpha}{2}})得到，(tanalpha=cfrac{4}{3})。
到此，題目轉化為已知(tanalpha=cfrac{4}{3})，求(cos2alpha=？)的值。
(cos2alpha=cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{cos^2alpha+sin^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=-cfrac{7}{25})。 ↩?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的给出方式|关于正切值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。