伽利略悖論

考慮一個(gè)問(wèn)題：
集合N表示所有自然數(shù)：N=1,2,3,4,5,6...
集合E表示所有偶數(shù)： E=2,4,6,...
N與E， 哪個(gè)的元素個(gè)數(shù)多些？

集合S的元素的個(gè)數(shù)也叫做集合的基或者勢(shì)， 用|S|表示。
初看起來(lái)，|N|=2?|E|， 但再想想，N的所有元素乘以2得到的新的集合不就是E嗎？ 所以|N|=|E|.

這個(gè)悖論叫伽利略悖論。

可數(shù)的定義

Countable. 若一個(gè)集合中的元素可以與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)， 或者說(shuō)是可以編號(hào)的，那這個(gè)集合就是可數(shù)的。
有限集合肯定是可數(shù)的。
無(wú)限集合有的可數(shù)：
* 自然數(shù)，奇數(shù)，偶數(shù)
* 代數(shù)數(shù)
* 有理數(shù)
有的不可數(shù)：
* 實(shí)數(shù)
* 無(wú)理數(shù)
超越數(shù)是否可數(shù)還未知。

有理數(shù)的可數(shù)性

1/1
1/2,2/1
1/3,3/1
1/4,2/3,3/2,4/1
...
將所有的有理數(shù)按以上順序排列。排列規(guī)則是：第n行的分子分母之和為n+1。這樣就可以為所有有理數(shù)編號(hào)，所以有理數(shù)是可數(shù)的。

代數(shù)數(shù)的可數(shù)性

代數(shù)數(shù)的可數(shù)性則是通過(guò)窮舉代數(shù)方程證明的。
代數(shù)方程的一般寫(xiě)法是：

∑nanxn=0,an為整數(shù), n為正整數(shù)
它的系數(shù)和稱為方程的 高。對(duì)于特定的高， 可以窮舉出所有的代數(shù)方程。代數(shù)方程都可窮舉了， 其對(duì)應(yīng)的解自然也是可窮舉可編號(hào)的。

真子集

對(duì)有數(shù)集來(lái)說(shuō)，自己的真子集的基數(shù)一定小于自己。但對(duì)無(wú)限集來(lái)說(shuō)就不一定了：無(wú)限集的真子集可以與自己等勢(shì)（基數(shù)相同）， 例如自然數(shù)和偶數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的可数集的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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