消元簡化了線性方程組Ax=b，幸運的是它也簡化了理論。存在性和唯一性的基本問題(一個解或沒有解或無窮多個解)在消去之后很容易回答，我們現(xiàn)在就針對m×n系統(tǒng)討論這些問題。

但消去只有得到了一種Ax=b的一種理解，我們的主要目標是實現(xiàn)不同和更深層次的理解，之后的內(nèi)容比之前的難一點，它將通向線性代數(shù)的核心。

為了給出向量空間的概念，我們首先介紹一下最重要的空間，他們用R1,R2,R3,…表示；Rn空間由n個列向量組成。(我們用R表示元素都是實數(shù))R2通常用x?y平面來表示；向量的元素變成對應點的x,y坐標，R3空間中的向量有三個元素，他們確定的點位于三維空間里，而一維空間R1是一條線。

線性代數(shù)有價值的就是到n維空間的擴展非常直接，對于R7中的向量，我們只需要七個元素，雖然幾何上很難可視化。在所有的向量空間內(nèi)，下面兩種操作都是可能的：

我們可以將任意兩個向量相加，我們可以用標量和向量相乘。換句話說，我們可以進行線性組合。

加法滿足交換律x+y=y+x；有零向量滿足0+x=x；有負向量?x滿足?x+x=0。八條性質(zhì)(包括這三條)是基本要求；(這里沒有列出其余五條，大家可以上網(wǎng)查找或給博主留言)實向量空間就是滿足向量加法和實數(shù)乘法的向量集合，加法和乘法得到的向量肯定還在空間內(nèi)，并且還得滿足八個條件。

一般情況我們討論的向量都是屬于空間Rn的；他們是普通的列向量。如果x=(1,0,0,3)，那么2x(x+x)的元素就是2,0,0,6。下面我們給出是三個例子：

無限維空間R∞，它的向量有無限多個元素，就像x=(1,2,1,2,…)，x+y,cx法則依然成立。

3×2矩陣的空間，這種情況下向量就是矩陣！我們能夠?qū)蓚€矩陣相加并且A+B=B+A，存在零矩陣等等，這個空間幾乎和R6一樣。(六個元素組織在矩陣里而不是一列)對于任何m,n，類似的將得到m×n矩陣的向量空間。

函數(shù)f(x)空間，對于任何定義在閉區(qū)間上例如0≤x≤1的函數(shù)f，都屬于該空間。像f(x)=x2,g(x)=sinx,(f+g)(x)=x2+sinx,3x2,?sinx等等，這些向量是函數(shù)，它的維數(shù)比R∞還要大

我們想描述向量空間并解釋為什么他們?nèi)绱酥匾缀紊?#xff0c;考慮常見的三維R3并任意選擇一個通過原點的平面，那個平面是一個向量空間，如果我們用3 或-3或任何一個數(shù)乘以平面里的一個向量，得到的向量依然在這個平面內(nèi)。如果我們將平面內(nèi)的兩個向量相加，他們的和依然在平面內(nèi)，平面通過(0,0,0)說明了線性代數(shù)最基本想法中的一個；它是原空間R3的子空間。

定義：向量空間的子空間是非空子集，它滿足線性空間的要求：線性組合。

如果將子空間里的任意向量x,y相加，x+y在子空間內(nèi)。

如果將子空間里的任意向量x和任意標量c相乘，cx在子空間內(nèi)。

注意我們強調(diào)空間這個詞，子空間是一個子集，它對加法和標量乘法封閉。這些操作跟隨主空間的規(guī)則，在子空間內(nèi)部依然保持，八條性質(zhì)更大的空間都是滿足的，因此在每個子空間里自動滿足。特別需要注意的是零向量屬于每一個子空間，因為根據(jù)第二條性質(zhì)：我們選擇標量c=0。

最小的子空間Z只包含一個向量，那就是零向量，它是零維空間只包含原點，對規(guī)則1,2都滿足，因為0+0在這個空間里，所有c0也在這個空間里，最小空間不能為空所以這既是最小的向量空間。另一個極端情況是，最大的子空間是原始空間，如果原空間是R3，那么可能的子空間為：R3本身，任何通過原點的平面，任何通過原點的線或單獨一個原點(零向量)。

子空間和子集合是有區(qū)別的，在沒有空間的前提下能夠進行向量加法和標量乘法嗎？

例1：考慮R2中的所有元素為非負的向量，這個子集合是x?y平面的第一象限；坐標滿足x≥0,y≥0。但它不是一個子空間，雖然它包含零并且向量加法都在空間內(nèi)，但是法則2不滿足，因為如果標量-1乘以向量[1,1]的話，結(jié)果為[?1,?1]，它在第三象限而不是第一象限。

如果我們包含一三象限，那么標量乘法也滿足。然而，法則1 將不滿足，因為[1,2]+[?2,?1]=[?1,1]不在這兩個象限內(nèi)。包含第一象限最小的子空間是整個R2空間。

例2：從3×3矩陣空間開始，一個可能的子空間是下三角矩陣的集合，另一個是對稱矩陣的集合，如果A,B是下三角矩陣，那么A+B,cA是下三角矩陣，如果A,B是對稱矩陣，那么A+B,cA是對稱矩陣。當然，子矩陣都在這兩個子空間里。

矩陣的列空間

現(xiàn)在我們看一個比較關(guān)鍵的例子，矩陣A的列空間和零空間。列空間包含矩陣A列的所有線性組合，它是R3的子空間，我們用一個m=3,n=2的系統(tǒng)來說明：

???152044???[uv]=???b1b2b3???(1)

當m>n時我們的方程個數(shù)比未知量要多(通常情況下這沒有解)，這個系統(tǒng)只對一小部分b有解。

1、對于Ax=b，當且僅當b可以表示為A列的線性組合是它才有解，此時b在其列空間里。

這段描述只是從列的角度重述了Ax=b：

u???152???+v???044???=???b1b2b3???

注意問題是：找出u,v使得他們乘以第一和第二列得到b，當這樣的系數(shù)存在時該系統(tǒng)才有解，向量(u,v)就是解x。

我們有效的b是A列的線性組合，一種可能是第一列，此時u=1,v=0，另一種可能是第二列，此時u=0,v=1，第三種可能是b=0，此時u=0,v=0。

我們可以從幾何上描述列的所有線性組合：對于Ax=b，當且僅當b位于兩個列向量確定的平面上(圖1)時它是有解的。如果b 位于平面外，那么就不在兩列的組合，也就是Ax=b無解。

重要的是，這個平面不僅僅是R3的子集合，它還是一個子空間。我們用C(A)表示，Rm的子空間很容易檢查是否滿足規(guī)則1和2：

列假設b,b′位于列空間上，也就是存在x,x′使得Ax=b,Ax′=b′，那么A(x+x′)=b+b′，所以b+b′也是列的線性組合，所以列空間對加法是封閉的。

如果b在列空間C(A)里，那么cb也在里面。如果某個列的組合(Ax=b)得到b，那么組合乘以c將得到cb，也就是說A(cx)=cb。


圖1

對于另一個矩陣A，圖1中的維數(shù)可能不同，最小的列空間是A=0，唯一的列組合是b=0。另一個極端的例子是，假設A是5×5單位矩陣，那么C(I)就是整個R5空間；I的五個列空間可以組合出任何五維向量b，這不是單位矩陣特有的，任何5×5的非奇異矩陣它的列空間都是整個R5空間，對于這樣的矩陣我們可以用高斯消元法求解Ax=b；有五個主元，因此對每個非奇異矩陣，b都位于C(A)中。

對于奇異矩陣和任何形狀的長方形矩陣，C(A)是位于零空間和Rm空間之間的，結(jié)合它的垂直空間我們能夠更好的理解Ax=b。

零空間

Ax=b的第二個方法與第一個是對偶的，我們現(xiàn)在不僅關(guān)注右邊的b，也關(guān)注一下得到的解x。當右邊為0時，肯定存在解x=0，但是有可能有許多其他解。(如果未知數(shù)個數(shù)大于方程個數(shù)，那么一定存在非零解)Ax=0的解形成了一個向量空間-A的零空間。

矩陣的零空間由所有Ax=0的向量x組成，用N(A)表示，它是Rn的子集合，就像列空間是Rm子集合一樣。

規(guī)則1滿足：如果Ax=0，Ax′=0，那么A(x+x′)=0。規(guī)則2也滿足：如果Ax=0，那么A(cx)=0。如果右邊非零的話，規(guī)則就都不滿足！只有齊次方程的解形成了子空間。上面的例子很容易求出零空間；它盡可能的小：

???152044???[uv]=???000???

第一個方程給出u=0，第二個給出v=0，零空間只包含向量(0,0)，這個矩陣列是相互獨立的——這個概念不久就給出。

當?shù)谌惺乔皟闪械慕M合式，情況就發(fā)生了變化：

B=???152044196???

B和A有同樣的列數(shù)，從圖1可以看出新的列位于平面內(nèi)；它是前兩個向量之和。但是B的零空間包含向量(1,1,?1)，所以自動包含任何乘數(shù)對應的(c,c,c)：

???152044196???[cc?c]=???000???

B的零空間是所有點x=c,y=c,z=?c組成的線(這條線通過原點，就像任何子空間必須滿足的那樣)，對于Ax=b，我們能夠求出C(A),N(A)：所有有效的b和Ax=0的解。

向量b在列空間里，向量x在零空間里，我們將計算這些子空間的維度以及生成他們的向量集合。我希望最后大家能夠理解四個和A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-155">A</script>相關(guān)的子空間——列空間，零空間以及與他們兩個垂直的空間。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的漫步线性代数八——向量空间和子空间的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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