Unity游戲開(kāi)發(fā)中的向量運(yùn)算-點(diǎn)乘和叉乘

1.點(diǎn)乘：

定義：

又稱(chēng)點(diǎn)積、數(shù)量積、標(biāo)量積。既可以由向量坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算得出，也可以通過(guò)引入兩個(gè)向量的長(zhǎng)度和角度等幾何概念來(lái)求解。

公式一：

?公式二：

點(diǎn)積滿足交換律，即?a?b = b?a

通過(guò)點(diǎn)積公式可以看出，a，b都是標(biāo)量，都是正數(shù)，余弦值結(jié)果只受角度變化的影響。所以，游戲開(kāi)發(fā)中經(jīng)常對(duì)向量a、b進(jìn)行歸一化，即當(dāng)兩個(gè)單位向量的長(zhǎng)度都是1時(shí)，點(diǎn)乘的結(jié)果就是他們夾角的余弦值，最后可以反余弦求得向量的夾角 θ = arccos(a?b)，注意這里得到的是弧度值，需要再乘以Mathf.Rad2Deg才能得到最終的角度。這個(gè)結(jié)果也可以通過(guò)Vector3.Angle(a,b)直接得出。

?由余弦函數(shù)曲線可以看出：當(dāng)夾角小于90，余弦值大于0；當(dāng)夾角大于90，余弦值小于0。

游戲中的應(yīng)用：

1.判斷敵人在我們前方或者后方？

我們以自己為原點(diǎn)，問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為，計(jì)算我們的正前方(Vector3.forward)和原點(diǎn)指向敵人位置的向量的點(diǎn)積。當(dāng)結(jié)果大于0時(shí)，說(shuō)明敵人與我們正前方夾角小于90度，敵人在我們前面，當(dāng)結(jié)果小于0時(shí)，說(shuō)明敵人與我們正前方夾角大于90度，敵人在我們后面。

2.已知敵我位置，自己的視角θ范圍，判斷敵人是否在視角內(nèi)？

同樣以自己為原點(diǎn)，首先可以求得正前方向量和指向敵人位置的向量之間的夾角α，因?yàn)樽笥乙暯鞘瞧椒值?#xff0c;我們只需要比較α和θ/2的大小就可以判斷出結(jié)果了。由根據(jù)余弦值在(0,π)是單調(diào)遞減的，所以可以通過(guò)直接比較cos值的大小來(lái)比較θ值的大小，不需要通過(guò)反余弦來(lái)計(jì)算真實(shí)角度值。即當(dāng)cos(α) > cos(θ/2)時(shí)，敵人在我們視角內(nèi)；當(dāng)cos(α) < cos(θ/2)時(shí)，敵人在我們視角外。

?2.叉乘：

定義：

向量積，數(shù)學(xué)中又稱(chēng)外積、叉積，物理中稱(chēng)矢積、叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。與點(diǎn)積不同，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量而不是一個(gè)標(biāo)量。并且兩個(gè)向量的叉積與這兩個(gè)向量和垂直。同樣既可以由向量坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算得出，也可以通過(guò)引入兩個(gè)向量的長(zhǎng)度和角度等幾何概念來(lái)求解。

?公式一：

?公式二：

該結(jié)果為向量積的模長(zhǎng)，其中0° < θ < 180°，方向在unity中由左手法則得出。

?

?叉乘不滿足交換律，滿足反交換律，即?axb = -(bxa)

根據(jù)左手定則可以看出，叉乘結(jié)果大于0時(shí)，第二個(gè)向量在第一個(gè)向量右邊，叉乘結(jié)果小于0時(shí)，第二個(gè)向量在第一個(gè)向量左邊。

?根據(jù)叉乘的定義，這兩個(gè)只在XY平面的向量的叉乘，必然為一個(gè)只在Z軸（垂直于XY平面）上有值的向量，所以可以把2D向量的叉乘簡(jiǎn)化為一個(gè)只表示Z值的標(biāo)量。

所以2D向量的叉乘可以定義為：

?這個(gè)公式的幾何意義就是如果以向量a和b為邊構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，那么a和b的叉乘的結(jié)果就是這個(gè)平行四邊形的面積。

游戲中的應(yīng)用：

判斷最優(yōu)轉(zhuǎn)向敵人問(wèn)題

以自己為原點(diǎn)，計(jì)算自己正前方和指向敵人的向量的叉乘，如果結(jié)果大于0，說(shuō)明敵人在我們右手邊，小于0則在我們左手邊。

3.總結(jié)：

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，在兩個(gè)物體的位置關(guān)系判斷中。

點(diǎn)乘可以判斷出目標(biāo)物體在我的前方還是后方。大于零在前方，小于零在后方。

叉乘可以判斷出目標(biāo)物體在我的左邊還是右邊。大于零在右方，小于零在左方。

?參考文章：

向量運(yùn)算在游戲開(kāi)發(fā)中的應(yīng)用和思考

Unity游戲開(kāi)發(fā)——向量運(yùn)算（點(diǎn)乘和叉乘）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Unity游戏开发中的向量运算-点乘和叉乘的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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